Memahami Barisan dan Deret: Pola di Balik Angka

Apa Itu Barisan dan Deret?

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai pola angka — mulai dari jumlah langkah saat menaiki tangga, susunan kursi di kelas, hingga cara menabung setiap minggu. Pola-pola seperti ini disebut barisan, yaitu urutan bilangan yang memiliki pola tertentu.

Contoh:
2, 4, 6, 8, 10, … (setiap suku bertambah 2)

Sementara deret adalah hasil penjumlahan dari barisan tersebut.

Contoh:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …

Jadi, jika barisan itu seperti “cerita angka”, maka deret adalah “jumlah dari cerita itu”. Keduanya saling berkaitan dan sering muncul dalam soal UTBK, TKA, maupun olimpiade matematika dasar.

Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika memiliki ciri khas: selisih antar suku selalu tetap, disebut beda (b).

Rumus dasar:

• Suku ke-n:
  Un=a+(n−1)bU_n = a + (n – 1)bUn=a+(n−1)b

• Jumlah n suku pertama:
  Sn=n2[2a+(n−1)b]S_n = \frac{n}{2} [2a + (n – 1)b]Sn=2n[2a+(n−1)b]
  atau
  Sn=n2(a+Un)S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)Sn=2n(a+Un)

Contoh soal:
Barisan aritmetika 3, 7, 11, 15, …
Cari suku ke-10 dan jumlah 10 suku pertama!

Diketahui: a = 3, b = 4, n = 10

• U10=3+(10−1)×4=39U_{10} = 3 + (10 – 1) \times 4 = 39U10=3+(10−1)×4=39

• S10=102(3+39)=210S_{10} = \frac{10}{2} (3 + 39) = 210S10=210(3+39)=210

Jadi, suku ke-10 adalah 39, dan jumlah 10 suku pertama adalah 210.

Barisan dan Deret Geometri

Jika barisan aritmetika memiliki selisih tetap, maka barisan geometri memiliki rasio tetap (r) antar suku.

Rumus dasar:

• Suku ke-n:
  Un=a×r(n−1)U_n = a \times r^{(n-1)}Un=a×r(n−1)

• Jumlah n suku pertama:
  Sn=a(rn−1)r−1S_n = a \frac{(r^n – 1)}{r – 1}Sn=ar−1(rn−1), untuk |r| > 1
  atau
  Sn=a(1−rn)1−rS_n = a \frac{(1 – r^n)}{1 – r}Sn=a1−r(1−rn), untuk |r| < 1

• Jumlah deret tak berhingga:
  S∞=a1−rS_{\infty} = \frac{a}{1 – r}S∞=1−ra

Contoh soal:
Barisan geometri 2, 6, 18, 54, …
Tentukan suku ke-5 dan jumlah 5 suku pertama!

Diketahui: a = 2, r = 3

• U5=2×34=162U_5 = 2 \times 3^{4} = 162U5=2×34=162

• S5=2(35−1)3−1=242S_5 = 2 \frac{(3^5 – 1)}{3 – 1} = 242S5=23−1(35−1)=242

Jadi, suku ke-5 adalah 162, dan jumlah 5 suku pertama adalah 242.

Aplikasi Barisan dan Deret

1. Pertumbuhan dan Peluruhan

Pertumbuhan terjadi ketika sesuatu bertambah secara berkala — misalnya populasi, investasi, atau pertumbuhan bakteri.
Jika pertambahannya tetap, gunakan barisan aritmetika; jika bertambah secara persentase, gunakan barisan geometri.

• Pertumbuhan:
  Pt=P0(1+r)tP_t = P_0 (1 + r)^tPt=P0(1+r)t

• Peluruhan:
  Pt=P0(1−r)tP_t = P_0 (1 – r)^tPt=P0(1−r)t

Keterangan:
P0P_0P0 = nilai awal
PtP_tPt = nilai setelah waktu t
$r$ = rasio pertumbuhan/peluruhan
$t$ = waktu

2. Bunga Tunggal

Bunga tunggal diberikan secara tetap setiap periode dan mengikuti pola barisan aritmetika.

Rumus:
Mt=M0(1+i×t)M_t = M_0 (1 + i \times t)Mt=M0(1+i×t)

Keterangan:
MtM_tMt = modal akhir
M0M_0M0 = modal awal
$i$ = suku bunga per periode (%)
$t$ = waktu

3. Bunga Majemuk

Bunga majemuk dihitung berdasarkan total uang sebelumnya (termasuk bunga sebelumnya), mengikuti pola barisan geometri.

Rumus:
Mt=M0(1+i)tM_t = M_0 (1 + i)^tMt=M0(1+i)t

Keterangan:
MtM_tMt = modal akhir
M0M_0M0 = modal awal
$i$ = suku bunga per periode (%)
$t$ = waktu

Penutup

Barisan dan deret bukan hanya kumpulan angka — melainkan cara berpikir yang melatih pola, keteraturan, dan logika matematis.
Ketika kamu memahami konsepnya, soal seberat apa pun bisa dihadapi dengan tenang.

Ingat, belajar matematika bukan sekadar menghafal rumus, tapi melatih cara berpikir sistematis. Dari barisan hingga deret, kamu sedang melatih otakmu melihat dunia lewat pola dan keteraturan.

Belajar Makin Mudah Bareng Naiju!

Yuk, pahami konsep barisan dan deret lewat latihan interaktif, analisis kelemahan otomatis, dan pembahasan adaptif yang dirancang khusus buat kamu.
Dengan Naiju, belajar UTBK bukan lagi soal hafalan — tapi soal memahami logika di balik setiap angka.